Question

证明：过曲线xy=a²上的任何一点（x₀，y₀）（x₀＞0）的切线与两坐标轴围城的三角形面积是一个常数．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,直线与圆

分析：求出函数的导数，求出切线的斜率，求出切线方程，求出x，y轴上的截距，运用三角形的面积公式，即可得证．

解答： 证明：曲线xy=a²即y=

a2

x

的导数为y′=-

a2

x2

，
在（x₀，y₀）处的切线斜率为-

a2

x02

，
切点为（x₀，

a2

x0

），
则有切线方程：y-

a2

x0

=-

a2

x02

（x-x₀），
由x=0得，y=

2a2

x0

，
再由y=0，得，x=2x₀，
则与两坐标轴围城的三角形面积是：

1

2

×|2x₀•

2a2

x0

|=2a²．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的点斜式，考查运算能力，属于基础题．