Question

直三棱柱中，，，，D为BC中点.

（Ⅰ）求证：;
（Ⅱ）求证：;
（Ⅲ）求二面角的正弦值.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）由等腰三角形底边中线即为高线可得，由三棱柱为直棱柱可得侧棱垂直底面从而垂直底面内的任意一条直线，即可得，根据线面垂直的判定定理可得。（Ⅱ）连接交于，连接。可知为中点。由三角形中位线可证得//，再根据线面平行的性质定理可得。（Ⅲ）建立空间坐标系，根据各边长可得各点的坐标，从而可求出面的法向量。由题意可证得，所以即为面的一个法向量。可用向量数量积公式求两法向量所成角的余弦值。但两法向量所成的角与二面角相等或互补，需根据题意判断。
试题解析：(Ⅰ) 因为 三棱柱中，平面，所以
所以CC₁AD             1分
AB=AC，且D为AC中点
ADBC              2分
             3分
AD平面BC₁             4分
（Ⅱ）
连接A₁C交AC₁于M，连接DM
侧面AC₁为平行四边形
M为A₁C中点             5分
D为BC中点
DM//A₁B             6分
    7分
A₁B//平面AC₁D             8分
（Ⅲ）在直三棱柱中，AA₁平面ABC
AA₁AB，AA₁AC
又ABAC             9分
以A为坐标原点，AB为Ox轴，AC为Oy轴，AA₁为Oz轴建立空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（，，0），C₁（0，1，），
A₁（0，0，），
，             10分
设平面AC₁D的法向量为=(x,y,z)，


令z=1，则
             11分
又AB平面AC₁
平面AC₁的法向量             12分
若二面角D-AC₁-C的大小为
因为             13分
又 由图可知二面角D-AC₁-C为锐角，
二面角的余弦值为
即，。            14分