Question

已知三棱柱中，平面⊥平面ABC，BC⊥AC，D为AC的中点，AC＝BC＝AA₁＝A₁C＝2。

（Ⅰ）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求平面AA₁B与平面A₁BC的夹角的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）平面AA₁B与平面A₁BC的夹角的余弦值．

试题分析：（Ⅰ）求证：AC₁⊥平面A₁BC，只需证垂直平面内两条线即可，由于平面平面，，可得，由题意可得，四边形是菱形，由菱形对角线性质可知，，从而可得平面，也可利用向量法，即如图以为轴建立空间直角坐标系，由 知，即可得平面；（Ⅱ）求平面AA₁B与平面A₁BC的夹角的余弦值，可用传统方法，找二面角的平面角，设，作于，连接，则为二面角的平面角，从而求得两平面夹角的余弦值为，还可以利用向量来求，即找出两个平面的法向量，利用法向量的夹角平面AA₁B与平面A₁BC的夹角的余弦值．
试题解析：解法一：
（Ⅰ）由于平面平面，，所以面，所以。(2分)
而是菱形，因此，所以平面。（4分）
（Ⅱ）设，作于，连接，
由（1）知平面，即平面，所以
又于，因此，
所以为二面角的平面角，（8分）
在中，，，故直角边，
又因为中斜边 因此中斜边，
所以，所以所求两平面夹角的余弦值为。（12分）
解法二：
如图，取的中点，则，

因为，所以，又平面，（2分）
以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，
（Ⅰ），，， 
由 知， （5分）
又，从而平面；（6分）
（Ⅱ）由（1）知平面的一个法向量为，
再设平面的法向量为，，，
所以，设，则，
故
因此所求两平面夹角的余弦值为。(12分）