Question

如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.

(1)求证：PC⊥BC
(2)求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

（1）BC⊥PC；（2）.

试题分析：（1）要证线线垂直，要从线面垂直角度入手，根据题中所给条件易知BC⊥平面PDC，而PC在平面PDC，从而能够证明出BC⊥PC. （2）要求点到面的距离，常用到等体积定理，由已知条件可知
V_A－PBC＝V_P－ABC ，而通过计算可知V_P－ABC＝S_△ABC·PD＝，接下来只需要求出△PBC的面积，这样根据S_△PBC·h＝，∴h＝，所以点A到平面PBC的距离为.
试题解析：(1)∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC.
由∠BCD＝90°知，BC⊥DC，
∵PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC，
∴BC⊥PC.
(2)设点A到平面PBC的距离为h，
∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°，
∵AB＝2，BC＝1，∴S_△ABC＝AB·BC＝1，
∵PD⊥平面ABCD，PD＝1，
∴V_P－ABC＝S_△ABC·PD＝，
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC，
∵PD＝DC＝1，∴PC＝，
∵PC⊥BC，BC＝1，
∴S_△PBC＝PC·BC＝，
∵V_A－PBC＝V_P－ABC，
∴S_△PBC·h＝，∴h＝，
∴点A到平面PBC的距离为.