Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=1-

4

an+3

，数列{b_n}满足b_n=

1

an+1

（n∈N^*）．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）证明：

1

b12

+

1

b22

+…+

1

bn2

 ＜7．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a_n+1+1=2-

4

an+3

=

2an+2

an+3

，从而得到数列{b_n}是首项为

1

2

，公差为

1

2

的等差数列，由此能求出b_n=

n

2

．
（2）当n=1和n=2时，验证不等式成立，当n≥3时，

1

bn2

=

4

n2

＜

4

n(n-1)

=4（

1

n-1

-

1

n

），由此裂项求和法能证明

1

b12

+

1

b22

+…+

1

bn2

 ＜7．

解答： （1）解：∵数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=1-

4

an+3

，
∴a_n+1+1=2-

4

an+3

=

2an+2

an+3

，…（2分）
又由b_n=

1

an+1

，
则bn+1=

1

an+1+1

=

an+3

2an+2

=

(an+1)+2

2(an+1)

=

1

an+1

+

1

2

=bn+

1

2

，…（6分）
又b1=

1

2

，所以数列{b_n}是首项为

1

2

，公差为

1

2

的等差数列，
∴b_n=

n

2

．…（8分）
（2）当n=1时，左边=

1

b12

=4＜7，不等式成立；…（9分）
当n=2时，左边=

1

b12

+

1

b22

=4+1=5＜7，不等式成立； …（10分）
当n≥3时，

1

bn2

=

4

n2

＜

4

n(n-1)

=4（

1

n-1

-

1

n

），
左边=

1

b12

+

1

b22

+…+

1

bn2

 ＜4+1+4（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

）
=5+4（

1

2

-

1

n

）=7-

4

n

＜7不等式成立，
∴

1

b12

+

1

b22

+…+

1

bn2

 ＜7．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．