Question

关于x²+y⁴=1所表示曲线的描述：
（1）该曲线是中心对称图形；
（2）该曲线是轴对称图形；
（3）点p（cosθ，sinθ）可能在该曲线外部；
（4）该曲线围成的图形的面积小于或等于π；
（5）该曲线围成的图形的面积一定大于π，
以上说法正确的是：

 

（只需填上正确命题的题号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：由函数中心对称和轴对称的判定方法判断（1），（2）；由-1≤sinθ≤1同时把点的坐标代入判断（3）；求出曲线所围成的曲线的面积范围判断（4）．

解答： 解：对于曲线x²+y⁴=1：
（1）以-x换x，以-y换y，曲线方程不变，该曲线是中心对称图形，（1）正确；
（2）以-x换x，曲线方程不变，该曲线是轴对称图形，（2）正确；
（3）∵cos²θ+sin⁴θ≤cos²θ+sin²θ=1，点p（cosθ，sinθ）不可能在该曲线外部，（3）错误；
由已知曲线的方程可得：y⁴=1-x²≥0⇒x²≤1⇒-1≤x≤1，同理可推得-1≤y≤1，
即曲线围在由直线x=±1，y=±1所确定的正方形内，故曲线是封闭的．
又对比圆的方程x²+y²=1可知圆上的任一点（x，y）应在相应的方程x²+y⁴=1表示的曲线内部（除去与坐标轴的交点），
故其面积应大于圆的面积π，
故（4）错误；（5）正确．
故答案为：（1）（2）（5）．

点评：本题考查曲线方程知识，由方程研究曲线的性质，是中档题．