Question

18．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过A点作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1
（1）证明：AC平分∠BAD；
（2）求BC的长．

Answer 1

分析 （1）推导出∠OAC=∠OCA，OC⊥CD，从而AD∥OC，由此能证明AC平分∠BAD．
（2）由已知推导出BC=CE，连结CE，推导出△CDE∽△ACD，△ACD∽△ABC，由此能求出BC的长．

解答 证明：（1）∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，（2分）
∵CD是圆的切线，∴OC⊥CD，（4分）
∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA
故∠DAC=∠OAC，即AC平分∠BAD．（6分）
解：（2）由（1）得：$\widehat{BC}=\widehat{CE}$，∴BC=CE，（8分）
连结CE，则∠DCE=∠DAC=∠OAC，
∴△CDE∽△ACD，△ACD∽△ABC
∴$\frac{CE}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{CE}{AB}$，
故$BC=\frac{AB•DE}{CE}=2$．（10分）

点评 本题考查角平分线的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．