题目内容

13．已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a＞0，a≠1）
（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）单调增区间．

分析 （1）求出函数的导数，求出导函数值，得到切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．
（2）求出f′（x）＞0的解集，即可得到函数f（x）的单调增区间．

解答 解：（1）因为函数f（x）=ax+x2-xlna（a＞0，a≠1），
所以f′（x）=axlna+2x-lna，f′（x）=0，
又因为f（0）=1，所以函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1．
（2）由（1），f′（x）=axlna+2x-lna=2x+（ax-1）lna．
因为当a＞0，a≠1时，总有f′（x）在R上是增函数，
又f′（x）=0，所以不等式f′（x）＞0的解集为：（0，+∞），
故函数f（x）的单调增区间为：（0，+∞）．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及切线方程的求法，考查计算能力．

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