Question

8．已知数列{a_n}与{b_n}满足a_n+1-a_n=q（b_n+1-b_n），n∈N^*
（1）若b_n=2n-3，a₁=1，q=2，求数列{an}的通项公式；
（2）若a₁=1，b₁=2，且数列{b_n}为公比不为1的等比数列，求q的值，使数列{a_n}也是等比数列；
（3）若a₁=q，b_n=qⁿ（n∈N^*），且q∈（-1，0），数列{an}有最大值M与最小值m，求$\frac{M}{m}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由b_n=2n-3，可得b_n+1-b_n=2．又a₁=1，q=2，可得a_n+1-a_n=4，再利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）由于数列{b_n}是公比为k不为1的等比数列，b₁=2．可得b_n=2•k^n-1．利用a_n+1-a_n=q（b_n+1-b_n），a₁=1．可得a₂，a₃，再利用${a}_{2}^{2}$=a₁a₃，即可得出．
（3）由于a₁=q，b_n=qⁿ（n∈N^*），可得a_n+1-a_n=qⁿ⁺²-qⁿ⁺¹．利用“累加求和”可得：a_n=qⁿ⁺¹+q-q²，利用q∈（-1，0），可得：q³≤qⁿ⁺¹≤q²，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵b_n=2n-3，∴b_n+1-b_n=2．
又a₁=1，q=2，
∴a_n+1-a_n=q（b_n+1-b_n）=2×2=4，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为4．
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3．
（2）∵数列{b_n}是公比为k不为1的等比数列，b₁=2．
∴b_n=2•k^n-1．
∵a_n+1-a_n=q（b_n+1-b_n），a₁=1．
∴a₂=1+q（2k-2），
同理可得：a₃=a₂+q（b₃-b₂）=1+q（2k-2）+q（2k²-2k），
∵${a}_{2}^{2}$=a₁a₃，
∴[1+q（2k-2）]²=1×[1+q（2k-2）+q（2k²-2k）]，k≠1．
化为2q=1或q=0，解得q=$\frac{1}{2}$或q=0．
（3）∵a₁=q，b_n=qⁿ（n∈N^*），
∴a_n+1-a_n=q（qⁿ⁺¹-qⁿ）=qⁿ⁺²-qⁿ⁺¹．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（qⁿ⁺¹-qⁿ）+（qⁿ-q^n-1）+…+（q³-q²）+q
=qⁿ⁺¹+q-q²，
∵q∈（-1，0），
∴qⁿ⁺¹∈（-1，1），q³≤qⁿ⁺¹≤q²，
∴数列{a_n}有最大值M=q，最小值m=q³-q²+q．
∴$\frac{M}{m}$=$\frac{q}{{q}^{3}-{q}^{2}+q}$=$\frac{1}{{q}^{2}-q+1}$=$\frac{1}{（q-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$∈$（\frac{1}{3}，1）$．

点评 本题考查了数列的通项公式、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．