Question

10．判断函数f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-2x-3}$的单调性．

Answer 1

分析 可令x²-2x-3=t，（-4≤t＜0，或t＞0），设y=f（x），从而得到y=$\frac{1}{t}$，可判断二次函数t=x²-2x-3在（-∞，-1），（-1，1）上单调递减，而在（1，3），（3，+∞）上单调递增，这样根据复合函数的单调性的判断即可得出f（x）的单调性．

解答 解：令x²-2x-3=t，-4≤t＜0，或t＞0，设y=f（x），则：
$y=\frac{1}{t}$，在t∈[-4，0），（0，+∞）上单调递减；
x∈（-1，3）时，t＜0，x∈（-∞，-1）∪（（3，+∞）时，t＞0；
函数t=x²-2x-3的对称轴为x=1，该函数在（-1，1），（-∞，-1）单调递减，在（1，3），（3，+∞）上单调递增；
∴根据复合函数的单调性得，f（x）在（-1，1），（-∞，-1）上单调递增，在（1，3），（3，+∞）上单调递减．

点评 考查复合函数单调性的判断，二次函数的对称轴，二次函数单调性的判断，以及反比例函数的单调性．