Question

12．已知函数y=f（x），若对于任意x∈R，f（2x）=2f（x）恒成立，则称函数y=f（x）具有性质P，
（1）若函数f（x）具有性质P，且f（4）=8，则f（1）=2；
（2）若函数f（x）具有性质P，且在（1，2]上的解析式为y=cosx，那么y=f（x）在（1，8]上有且仅有3个零点．

Answer 1

分析 （1）根据性质P的条件，利用方程关系进行递推即可．
（2）根据性质P的条件，分别求出函数的解析式，利用函数零点的定义解方程即可．

解答 解：（1）因为函数y=f（x），具有性质P，
所以对于任意x∈R，f（2x）=2f（x）恒成立，
所以f（4）=f（2×2）=2f（2）=2f（2×1）=4f（1）=8，
所以f（1）=2．
（2）若函数y=f（x）具有性质P，且在（1，2]上的解析式为y=cosx，
由y=cosx=0，则x=$\frac{π}{2}$，
由f（2x）=2f（x）得f（x）=2f（$\frac{x}{2}$），
若2＜x≤4，则1＜$\frac{x}{2}$≤2，则f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2cos$\frac{x}{2}$，
则函数f（x）在（2，4]上的解析式为y=2cos$\frac{x}{2}$，
由2cos$\frac{x}{2}$=0，得x=π，
若4＜x≤8，则2＜$\frac{x}{2}$≤4，则f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=4cos$\frac{x}{4}$，
在（4，8]上的解析式为y=4cos$\frac{x}{4}$，
由y=4cos$\frac{x}{4}$=0得x=2π，
所以y=f（x）在（1，8]上有且仅有3个零点，分别是$\frac{π}{2}$，π，2π．
故y=f（x）在（1，8]上有且仅有3个零点，
故答案为：2，3

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用定义进行递推以及求出函数的解析式是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．