Question

2．偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）对一切实数x成立，且当x∈（-2013，-2012）时，f（x）=cos $\frac{π}{2}$x，f（-2012）=a，f（-2013）=b，（a＜b）．
（1）若△ABC是钝角三角形，C是钝角，证明：f（sinA）＞f（cosB）；
（2）若f（x）的值域是[a，b]，求a，b的值，并求方程f（x）=b的解集．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性和周期性的性质结合三角形的诱导公式进行化简证明即可．
（2）根据函数的单调性和值域的关系建立方程进行求解即可．

解答 解：（1）x∈（-1，0）时x-2012∈（-2013，-2012），
f（x）=f（x-2012）=cos $\frac{π}{2}$（x-2012）=cos $\frac{π}{2}$x，
因为f（x）是偶函数，所以x∈（0，1）时，f（x）=cos $\frac{π}{2}$x，
f（x）在（0，1）上是减函数，
因为△ABC是钝角三角形，C是钝角，所以0＜A＜$\frac{π}{2}$-B＜$\frac{π}{2}$，
所以0＜sin A＜cos B＜1，所以f（sin A）＞f（cos B）；
（2）x∈（-1，0）∪（0，1）时f（x）=cos $\frac{π}{2}$x∈（0，1），
f（0）=f（-2012）=a，f（-1）=f（1）=f（-2013）=b，
若f（x）的值域是[a，b]，则a=0，b=1．
方程f（x）=b的解集是{x|x=2k+1，k∈Z }．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用函数奇偶性和周期性的性质是解决本题的关键．