Question

【题目】已知数列满足，时，．

（1）当时，求数列的前项和；

（2）当时，求证：对任意，为定值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）见解析

【解析】

（1）根据题意首先证明出该数列为等比数列，并把数值代入到等比数列的前项和公式计算出结果即可．

（2）由已知可证出数列的通项公式，进而分析可得出这是一个等差等比结构，利用错位相减法求和可到，进而得到的通项公式，再对分情况然后结合数学归纳法对上式进行推理证明即可．

解：（1）当时，．

数列是以，公比为2的等比数列．

所以．

（2）当时，时，

∴．

令，∴

∴①

,

这是一个等差乘等比结构，利用错位相减法求和

由②

两式①②相减得

∴

∴于是

∴．

，为定值，时，也满足，

因此，对任意，为定值3．

（2）（数学归纳法）令，

当时，．

假设时命题成立，即．

即

由题设

．

所以，即时，命题也成立

根据数学归纳原理，所命题得证．