Question

【题目】已知函数，其中.

（Ⅰ）若，求函数的单调区间；

（Ⅱ）设.若在上恒成立，求实数的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求出函数的定义域以及导数，利用导数可求出该函数的单调递增区间和单调递减区间；

（Ⅱ）由题意可知在上恒成立，分和两种情况讨论，在时，构造函数，利用导数证明出在上恒成立；在时，经过分析得出，然后构造函数，利用导数证明出在上恒成立，由此得出，进而可得出实数的最大值.

（Ⅰ）函数的定义域为.

当时，.

令，解得（舍去），.

当时，，所以，函数在上单调递减；

当时，，所以，函数在上单调递增.

因此，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

（Ⅱ）由题意，可知在上恒成立.

（i）若，，，

，

构造函数，，则，

，，.

又，在上恒成立.

所以，函数在上单调递增，

当时，在上恒成立.

（ii）若，构造函数，.

，所以，函数在上单调递增.

恒成立，即，，即.

由题意，知在上恒成立.

在上恒成立.

由（Ⅰ）可知，

又，当，即时，函数在上单调递减，

，不合题意，，即.

此时

构造函数，.

，

，，

，

恒成立，所以，函数在上单调递增，恒成立.

综上，实数的最大值为