Question

【题目】已知椭圆的右焦点F到左顶点的距离为3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设O是坐标原点，过点F的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不在x轴上），若，延长AO交椭圆与点G，求四边形AGBE的面积S的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据椭圆方程中基本量的关系与右焦点F到左顶点的距离，即可求出椭圆基本量，即得椭圆方程；

（2）首先联立方程组，利用韦达定理表示出四边形的面积，根据面积表达式的函数单调性求出面积的最值即可.

（1）由题知，，，

解得，所以椭圆；

（2）因为过点F的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不在x轴上），

设，联立，

设，，有，

因为，所以四边形AOBE是平行四边形，

所以，

有，

令，有，

当时单调递减，所以当时面积取最大值，

最大值为.