Question

【题目】已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）对求导，然后对分类讨论即可求出的单调区间；
（2）根据的单调性，得出，必有，即，构造，求导，得出在上单调递增，故由得，接下来验证当时的零点情况即可.

解：（1）的定义域为，

因为，

若，则，则在单调递增；

若，则当时，，当时，，

则在单调递减，则单调递增；

（2）由（1）可知，要使有两个零点，则，

则，即，

构造，则，故在上单调递增，

又，故当时，，故由得，

当时，由，则

结合零点存在性知，在存在唯一实数，使得，

构造，，则，

故在单调递减，又，故，即，

则，故，

则，则，又，

结合零点存在性知，在存在唯一实数，使得，

综上，当有两个零点时，.