Question

【题目】如图，在四棱锥中，，，是等边三角形，，．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）由题意可得是等边三角形. 取中点，连，，可证平面，即证；

（2）法一 作出直线与平面所成的角，在直角三角形中求其正弦值.法二 以为坐标原点，以、分别为轴、轴建立平面直角坐标系，求平面的法向量.设直线与平面所成角为，则．

（1）由题意，是等边三角形，，

，是等边三角形.

取中点，连，，

则，，又，

∴平面，∵平面，∴.

（2）法一：在直角梯形中，.

∵平面，平面∴平面平面.

作交为，则平面，、交于，为直线与平面所成的角.

由题意得，又∵，

∴，.

∵，∴，，，

∴为的中点，∴，

∴.

法二：∵，以为坐标原点，与平面垂直的及、分别为轴、轴和轴建立平面直角坐标系，

则，∵，∴

又∵，，，∴,

，，.

设平面的法向量为，,

取.

设直线与平面所成角为，则．