Question

10．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$右焦点为F，又椭圆与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于点B（0，2），且$\overline{BF}•\overline{BA}=4\sqrt{2}+4$，过点D（4，0）作直线l交椭圆于不同的两点P，Q．
（1）求椭圆的方程；
（2）若在x轴上的点M（m，0），使$|{\overline{MP}}|=|{\overline{MQ}}|$，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得B（0，b），F（c，0），D（ $\frac{{a}^{2}}{c}$，0）．即可表示出 $\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{FD}$，$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{FD}$，又a²=b²+c²，即可得出椭圆的方程；
（2）设l的方程为y=k（x-4），与椭圆方程联立，利用△＞0即可得出k的取值范围；设交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点R（x₀，y₀），利用（2）中的根与系数的关系和中点坐标公式可用k表示点R的坐标，当k=0时，容易得出M；k≠0时，若|$\overrightarrow{MP}$|=|$\overrightarrow{MQ}$|?MR⊥l?k•kMR=-1，再根据k的取值范围即可得出．

解答 解：（1）由题意可得B（0，b），F（c，0），D（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0）．
于是$\overrightarrow{BF}$=（c，-b），$\overrightarrow{FD}$=（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c，0）=（$\frac{{b}^{2}}{c}$，0）=（2，0）．
故$\frac{{b}^{2}}{c}$=2，$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{FD}$=b2=4
∴c=2，于是a²=b²+c²=8
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）点D（4，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点，所以l的斜率存在．
故设l的方程为y=k（x-4），由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1\\ y=k（x-4）\end{array}\right.$得（2k²+1）x²-16k²x+32k²-8=0，
依题意△=-（64k²-32）＞0，k²＜$\frac{1}{2}$
∴l的斜率的取值范围为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
设交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点R（x₀，y₀），则x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，
x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，y₀=k（x₀-4）=k（$\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$-4）=$\frac{-4k}{2{k}^{2}+1}$．
当k=0时，P、Q为长轴的两个顶点．
此时M（0，0）满足|$\overrightarrow{MP}$|=|$\overrightarrow{MQ}$|，
k≠0时，若|$\overrightarrow{MP}$|=|$\overrightarrow{MQ}$|?MR⊥l?k•k_MR=-1
又k_MR=$\frac{4k}{2{k}^{2}+1}$÷（m-$\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$）=$\frac{4k}{（2m-8）{k}^{2}+m}$
由k_MR•k=-1，即4k²=-（2m-8）k²-m=（8-2m）k²-m（4-2m）k²=m．
∵0＜k2＜$\frac{1}{2}$，∴m≠2时，k2=$\frac{m}{4-2m}$．
∴0＜$\frac{m}{4-2m}$＜$\frac{1}{2}$．
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{m}{4-2m}＞0\\ \frac{m}{4-2m}＜\frac{1}{2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}0＜m＜2\\ m＞2或m＜1\end{array}\right.$，
∴0＜m＜1综上得0≤m＜1．

点评 熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系转化为方程联立得到△＞0即根与系数的关系、中点坐标公式、相互垂直的直线之间的关系等是解题的关键．