Question

已知曲线C为三次函数f（x）=3x-x³的图象，过点M（2，1）作曲线C的切线，可能的切线条数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：设出切点坐标P（x0，3x0-x03），利用导数求出过切点的切线方程，代入M点坐标，然后再利用导数求解关于x₀的方程的解的个数，则答案可求．

解答： 解：设切点为P（x0，3x0-x03），
由f（x）=3x-x³，得f′（x）=3-3x²，
∴k=3-3x02，
得曲线过P点的切线方程为y-3x0+x03=(3-3x02)(x-x0)，
即y=3(1-x02)x+2x03，
∵切线过点M（2，1），
故1=6-6x02+2x03，
即2x03-6x02+5=0，
令h(x0)=2x03-6x02+5，
则h′(x0)=6x02-12x0
由h′（x₀）=0，解得x₀=0或x₀=2，
当x₀∈（-∞，0），（2，+∞）时，h′（x₀）＞0，
当x₀∈（0，2）时，h′（x₀）＜0．
∴h（x₀）的极大值极小值分别为h（0）=5＞0，
h（2）=-3＜0，
故其图象与x轴交点3个，
也就是切线条数为3．
故选：D．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了函数零点个数的判断，体现了数学转化思想方法，是中档题．