某科研小组研究发现:一棵水蜜桃树的产量ω与肥料费用x满足如下关系:ω=4-$\frac{3}{x+1}$.且投入的肥料费用不超过5百元．此外.还需要投入其他成本2x百元．已知这种水蜜桃的市场价格为16元/千克.且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L．的关系式.并写出定义域,(2)当投入的肥料费用为多少时.该水蜜桃树获得的利润最� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量ω（单位：千克）与肥料费用x（单位：百元）满足如下关系：ω=4-$\frac{3}{x+1}$，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本2x（如是非的人工费用等）百元．已知这种水蜜桃的市场价格为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L（x）（单位：百元）．
（1）求利润函数L（x）的关系式，并写出定义域；
（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？

分析（1）L（x）=16$（4-\frac{3}{x+1}）$-x-2x=64-$\frac{48}{x+1}$-3x（0≤x≤5）．（单位百元）．
（2）法一：L（x）=67-$（\frac{48}{x+1}+3（x+1））$利用基本不等式的性质即可得出最大值．
法二：L′（x）=$\frac{48}{（x+1）^{2}}$-3=$\frac{-3（x+5）（x-3）}{（x+1）^{2}}$，令：L′（x）=0，解得x=3．利用对数研究函数的单调性即可得出极大值与最大值

解答解：（1）L（x）=16$（4-\frac{3}{x+1}）$-x-2x=64-$\frac{48}{x+1}$-3x（0≤x≤5）．（单位百元）．
（2）法一：L（x）=67-$（\frac{48}{x+1}+3（x+1））$≤67-$2×3×\sqrt{\frac{16}{x+1}×（x+1）}$=43，当且仅当x=3时取等号．
∴当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4300元．
法二：L′（x）=$\frac{48}{（x+1）^{2}}$-3=$\frac{-3（x+5）（x-3）}{（x+1）^{2}}$，令：L′（x）=0，解得x=3．
可得x∈（0，3）时，L′（x）＞0，函数L（x）单调递增；x∈（3，5]时，L′（x）＜0，函数L（x）单调递减．
∴当x=3时，函数L（x）取得极大值即最大值．
∴当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4300元．

点评本题考查了利用导数研究函数的极值与最值、函数的应用、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．