题目内容
设直线l：y=2x+2，若l与椭圆x2+
=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为
-1的点P的个数为（ ）
| y2 |
| 4 |
| 2 |
| A、0 | B、1 | C、2 | D、3 |
考点：直线与圆锥曲线的关系
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由直线l的方程与椭圆x2+
=1的方程组成方程组，求出弦长AB，计算AB边上的高h，
设出P的坐标，由点P到直线y=2x+2的距离d=h，结合椭圆的方程，求出点P的个数来．
| y2 |
| 4 |
设出P的坐标，由点P到直线y=2x+2的距离d=h，结合椭圆的方程，求出点P的个数来．
解答：
解：由直线l的方程与椭圆x2+
=1的方程组成方程组
，
解得
或
，
则A（0，2），B（-1，0），
∴AB=
=
，
∵△PAB的面积为
-1，
∴AB边上的高为h=
=
．
设P的坐标为（a，b），代入椭圆方程得：a2+
=1，
P到直线y=2x+2的距离d=
=
，
即2a-b=2
-4或2a-b=-2
；
联立得：
①或
②，
①中的b消去得：2a2-2（
-2）a+5-4
=0，
∵△=4（
-2）2-4×2×（5-4
）＞0，∴a有两个不相等的根，∴满足题意的P的坐标有2个；
由②消去b得：2a2+2
a+1=0，
∵△=（2
）2-4×2×1=0，∴a有两个相等的根，满足题意的P的坐标有1个．
综上，使△PAB面积为
-1的点P的个数为3．
故选：D．
| y2 |
| 4 |
|
解得
|
|
则A（0，2），B（-1，0），
∴AB=
| (0+1)2+(2-0)2 |
| 5 |
∵△PAB的面积为
| 2 |
∴AB边上的高为h=
| ||||
|
2(
| ||
|
设P的坐标为（a，b），代入椭圆方程得：a2+
| b2 |
| 4 |
P到直线y=2x+2的距离d=
| |2a-b+2| | ||
|
2(
| ||
|
即2a-b=2
| 2 |
| 2 |
联立得：
|
|
①中的b消去得：2a2-2（
| 2 |
| 2 |
∵△=4（
| 2 |
| 2 |
由②消去b得：2a2+2
| 2 |
∵△=（2
| 2 |
综上，使△PAB面积为
| 2 |
故选：D．
点评：本题考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了直线方程与椭圆方程组成方程组的求弦长的问题，是综合性题目．
练习册系列答案
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