题目内容
设c＞b＞a，证明：a2b+b2c+c2a＜ab2+bc2+ca2．
考点：不等式的证明
专题：推理和证明
分析：作差a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2后重新分组整理，可得a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2=（b-c）（a-b）（a-c），利用已知a＞b＞c，易知（b-c）（a-b）（a-c）＞0，从而可证结论成立．
解答：
证明：a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2
=a2（b-c）+a（c2-b2）+bc（b-c）
=a2（b-c）+（ab+ac）（b-c）+bc（b-c）
=（b-c）（a2-ac-ab+bc）
=（b-c）[a（a-c）-b（a-c）]
=（b-c）（a-b）（a-c），
因为a＞b＞c，
所以b-c＞0，a-b＞0，a-c＞0，
所以（b-c）（a-b）（a-c）＞0；
即a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2；
所以ab2+bc2+ca2＜a2b+b2c+c2a．
=a2（b-c）+a（c2-b2）+bc（b-c）
=a2（b-c）+（ab+ac）（b-c）+bc（b-c）
=（b-c）（a2-ac-ab+bc）
=（b-c）[a（a-c）-b（a-c）]
=（b-c）（a-b）（a-c），
因为a＞b＞c，
所以b-c＞0，a-b＞0，a-c＞0，
所以（b-c）（a-b）（a-c）＞0；
即a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2；
所以ab2+bc2+ca2＜a2b+b2c+c2a．
点评：本题考查不等式的证明，着重考查作差法的应用，考查转化思想与变形化积的能力，属于难题．
练习册系列答案
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平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
| A、α内有无穷多条直线与β平行 |
| B、α内的任何直线都与β平行 |
| C、直线a?α，直线b?β，且a∥β，b∥α |
| D、直线a?α，直线a∥β |
如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度等于（ ）A、
| ||
B、
| ||
C、5
| ||
D、2
|