Question

4．若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是ρ=$\frac{6cosθ}{si{n}^{2}θ}$．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
（2）若直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}+\frac{t}{2}\\ y=\frac{{\sqrt{3}t}}{2}\end{array}\right.$（t为参数），当直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）将极坐标方程两边同乘ρ，去分母即可得到直角坐标方程；
（2）利用直线l参数方程的标准形式，代入曲线C的普通方程，根据参数的几何意义得出|AB|．

解答 解：（1）∵ρ=$\frac{6cosθ}{si{n}^{2}θ}$，∴ρ²sin²θ=6ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为y²=6x．曲线为以（$\frac{3}{2}$，0）为焦点，开口向右的抛物线．
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}+\frac{t}{2}\\ y=\frac{{\sqrt{3}t}}{2}\end{array}\right.$，代入y²=6x得t²-4t-12=0．
解得t₁=-2，t₂=6．
∴|AB|=|t₁-t₂|=8．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线参数方程的几何意义，属于基础题．