Question

已知集合A={x|3≤3^x≤27}，B={x|log 

1

2

x＞

1

4

}
（1）求（∁_RB）∪A；
（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用,交、并、补集的混合运算

专题：函数的性质及应用,集合

分析：（1）根据指数、对数函数的单调性分别求出A和B，再由补集、并集的运算求出（∁_RB）∪A；
（2）根据子集的定义列出不等式，求出a的范围即可．

解答： 解：（1）因为指数函数y=3^x在定义域上是增函数，且3≤3^x≤27=3³，
所以1≤x≤3，则A={x|1≤x≤3}，
因为对数函数y=log

1

2

x在定义域上是减函数，且log 

1

2

x＞

1

4

=log

1

2

(

1

2

)

1

4

，
所以0＜x＜(

1

2

)

1

4

=

4 8

2

，则B={x|0＜x＜

4 8

2

}，即∁_RB={x|x≤0或x≥

4 8

2

}，
所以（∁_RB）∪A={x|x≤0或x≥

4 8

2

}；
（2）因为集合C={x|1＜x＜a}，且C⊆A={x|1≤x≤3}，
所以a≤1或

a＞1 a≤3

，即a≤3，
则实数a的取值范围是a≤3．

点评：本题考查补集、并集的混合运算，指数、对数函数的单调性，以及子集的定义，注意对数的真数大于零、空集是任何集合的子集．