Question

已知f（x）=

2x

x2+6

．
（1）若f（x）＞k的解集为{x|x＜-3或x＞-2}，求k的值；
（2）若对任意x＞0，f（x）≤t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）根据题意，把f（x）＞k化为kx²-2x+6k＜0，由不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出k的值；（2）化简f（x），利用基本不等式，求出f（x）≤t时t的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）＞k，
∴

2x

x2+6

＞k；
整理得kx²-2x+6k＜0，∵不等式的解集为{x|x＜-3或x＞-2}，
∴方程kx²-2x+6k=0的两根是-3，-2；
由根与系数的关系知，
-3+（-2）=

2

k

，
即k=-

2

5

；
（2）∵x＞0，
∴f（x）=

2x

x2+6

=

2

x+ 6 x

≤

2

2 6

=

6

6

，
当且仅当x=

6

时取等号；
又∵f（x）≤t对任意x＞0恒成立，
∴t≥

6

6

，
即t的取值范围是[

6

6

，+∞）．

点评：本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，基本不等式的应用问题，是综合题．