Question

数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a_n²+6a_n+6（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

an-6

-

1

an2+6an

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：-

5

16

≤T_n＜-

1

4

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a_n+1=a_n²+6a_n+6得：a_n+1+3=（a_n+3）²，从而得到数列{lg（a_n+3）}是以lg（a₁+3）=lg5为首项，以2为公比的等比数列，由此能求出a_n=52n-1-3．
（Ⅱ）b_n=

1

an-6

-

1

an2+6an

=

1

an-6

-

1

an+1-6

，从而T_n=-

1

52n-9

，由此能证明-

5

16

≤Tn＜-

1

4

．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由a_n+1=a_n²+6a_n+6得：a_n+1+3=（a_n+3）²
两边同时取对数得：lg（a_n+1+3）=2lg（a_n+3），
∴数列{lg（a_n+3）}是以lg（a₁+3）=lg5为首项，以2为公比的等比数列，
∴lg（a_n+3）=lg5•2^n-1，
∴a_n=52n-1-3．
（Ⅱ）∵数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a_n²+6a_n+6（n∈N^*）．
∴b_n=

1

an-6

-

1

an2+6an

=

1

an-6

-

1

an+1-6

，
∴T_n=

1

a1-6

-

1

a2-6

+

1

a3-6

-

1

a4-6

+…+

1

an-6

-

1

an+1-6

=

1

a1-6

-

1

an+1-6

=-

1

52n-9

，
∵n≥1，∴2ⁿ≥2，∴52n≥25，
∴52n-1-9≥16，
∴0＜

1

52n-9

≤

1

16

，
∴-

1

16

≤-

1

52n-9

＜0，
∴-

5

16

≤-

1

4

-

1

52n-9

＜-

1

4

，
∴-

5

16

≤Tn＜-

1

4

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．