Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx+

1+cos2x

2

+a（a为常数）．
（1）求函数f（x）的最小正周期，并指出其单调减区间；
（2）若函数f（x）在[0，

π

2

]上的最大值是2，试求实数a的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）将函数f（x）进行化简，即可求函数f（x）的最小正周期，并指出其单调减区间；
（2）根据函数f（x）在[0，

π

2

]上的最大值是2，建立条件关系即可求实数a的值．

解答： 解：（1）∵f(x)=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

+a=sin(2x+

π

6

)+

1

2

+a…（2分），
∴最小正周期T=

2π

2

=π…（4分）
单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）．…（6分）
（2）令u=2x+

π

6

…（7分），
则g(u)=sinu+

1

2

+a，u∈[

π

6

，

7π

6

]…（9分）．
f（x）的最大值为

3

2

+a=2 …（11分）． 解得a=

1

2

…（12分）

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，将函数进行化简是解决本题的关键．