Question

设函数f（x）=

ex-1

x

．
（1）求函数f（x）在[

1

2

，2]上的最值；
（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式f（x）-1＜a成立．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=

(x-1)ex+1

x2

，令h（x）=（x-1）e^x+1，则h′（x）=x•e^x，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求最值；
（2）化简不等式f（x）-1＜a为e^x-（a+1）x-1＜0，求导讨论函数的单调性，从而求函数的最小值，证明最小值小于0即可．

解答： 解：（1）f′（x）=

(x-1)ex+1

x2

，
令h（x）=（x-1）e^x+1，则h′（x）=x•e^x，
故h（x）=（x-1）e^x+1在（0，+∞）上是增函数，
又∵h（0）=0，
故f（x）=

ex-1

x

在（0，+∞）上是增函数，
则函数f（x）在[

1

2

，2]上的最小值为f（

1

2

）=2

e

-2，
最大值为f（2）=

1

2

e²-

1

2

；
（2）证明：f（x）-1=

ex-x-1

x

，
不等式f（x）-1＜a可化为e^x-（a+1）x-1＜0，
令g（x）=e^x-（a+1）x-1，则g′（x）=e^x-（a+1），
令e^x-（a+1）=0解得，x=ln（a+1），
故当0＜x＜ln（a+1）时，g′（x）＜0，
当x＞ln（a+1）时，g′（x）＞0，
则当x=ln（a+1）时，g_min（x）=a-（a+1）ln（a+1），
令m（a）=

a

a+1

-ln（a+1），（a≥0），
则m′（a）=-

a

(a+1)2

＜0，
则当a＞0时，m（a）＜m（0）=0；
故g_min（x）=a-（a+1）ln（a+1）＜0，
故存在正数x，使不等式f（x）-1＜a成立．

点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．