题目内容
若点O和点F（2，0）分别是双曲线x2-
=1（a＞0）的中心和右焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则
•
的取值范围为 ．
| y2 |
| a2 |
| OP |
| FP |
考点：双曲线的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由题意可求得a2=3，从而化出双曲线方程为x2-
=1，设点P（
，y），从而表达出
•
=（
，y）•（
-2，y）=1+
-2
+y2，利用换元法求值域．
| y2 |
| 3 |
1+
|
| OP |
| FP |
1+
|
1+
|
| y2 |
| 3 |
1+
|
解答：
解：由题意，1+a2=4，
解得a2=3，
则双曲线方程为x2-
=1，
∵点P为双曲线右支上的任意一点，
∴设点P（
，y），
则
•
=（
，y）•（
-2，y）
=1+
-2
+y2
令
=t，t≥1；y2=3t2-3；
故
•
=4t2-2t-3，
其在[1，+∞）上单调递增，
故
•
≥4-2-3=-1．
故答案为：-1．
解得a2=3，
则双曲线方程为x2-
| y2 |
| 3 |
∵点P为双曲线右支上的任意一点，
∴设点P（
1+
|
则
| OP |
| FP |
1+
|
1+
|
=1+
| y2 |
| 3 |
1+
|
令
1+
|
故
| OP |
| FP |
其在[1，+∞）上单调递增，
故
| OP |
| FP |
故答案为：-1．
点评：本题考查了双曲线的定义及换元法求函数的值域，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
下面四个命题：
①分别在两个平面内的直线平行
②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面
③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行
④如果一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行
其中正确的命题是（ ）
①分别在两个平面内的直线平行
②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面
③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行
④如果一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行
其中正确的命题是（ ）
| A、①② | B、②④ | C、①③ | D、②③ |
甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若S甲，S乙，S丙分别表示他们测试成绩的标准差，则（ ）
| A、S甲＜S乙＜S丙 |
| B、S甲＜S丙＜S乙， |
| C、S乙＜S甲＜S丙 |
| D、S丙＜S甲＜S乙 |