Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=2，AC₁与底面成60°角，E、F分别为AA₁、AB的中点．
（1）求异面直线EF与AC₁所成角的大小；
（2）求EF与平面ACC₁A₁所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由AC₁与底面成60°角，求出侧棱长，取A₁C₁的中点G，连接EG，FG，则EG∥AC₁，则∠FEG或补角即为异面直线EF与AC₁所成角．分别求出三角形FEG的三边，再由余弦定理，即可得到；
（2）在三角形ABC内，过F作FH⊥AC，由于平面ABC⊥平面ACC₁A₁，则FH⊥平面ACC₁A₁，即有∠FEH即为EF与平面ACC₁A₁所成角．通过解直角三角形EFH，即可得到．

解答： 解：（1）由于CC₁⊥平面ABC，则∠C₁AC=60°，
AC=2，则C₁C=ACtan60°=2

3

，
取A₁C₁的中点G，连接EG，FG，则EG∥AC₁，
则∠FEG或补角即为异面直线EF与AC₁所成角．
易得EF=

3+1

=2，EG=2，
再取AC的中点M，连接MG，MF，则FG=

(2 3 )2+1

=

13

，
则cos∠FEG=

4+4-13

2×2×2

=-

5

8

，
则有异面直线EF与AC₁所成角为arccos

5

8

；
（2）在三角形ABC内，过F作FH⊥AC，
由于平面ABC⊥平面ACC₁A₁，
则FH⊥平面ACC₁A₁，
即有∠FEH即为EF与平面ACC₁A₁所成角．
在直角三角形AFH中，FH=AFsin60°=

3

2

，
又EF=2，则sin∠FEH=

FH

EF

=

3

4

，
则EF与平面ACC₁A₁所成角的大小为arcsin

3

4

．

点评：本题主要考查空间异面直线所成的角和直线与平面所成的角，考查空间的直线与平面的位置关系，考查运算和推理能力，属于中档题．