Question

5．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点F（1，0），过点F的直线l与椭圆交于C，D两点，且点C到焦点的最大距离与最小距离之比为3．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若CD与x轴垂直．A、B是椭圆上位于直线CD两侧的动点，满足∠ACD=∠BCD，则直线AB的斜率是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 法一：（Ⅰ）由题意知a+c=3（a-c），求出a=2c=2，进一步求出b²=3，则椭圆的方程可求；
（Ⅱ）当∠ACD=∠BCD，则k_AC+k_BC=0，设直线AC的斜率为k，则直线BC的斜率为-k，则AC的直线方程为$y-\frac{3}{2}=k（{x-1}）$，代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$中整理得（3+4k²）x²-4k（2k-3）x+4k²-12k-3=0，由此能求出直线AB的斜率是定值$\frac{1}{2}$．
法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）依题意知直线AB的斜率存在，设AB方程：y=kx+m代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$中整理得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用韦达定理、根的判别式、直线方程、椭圆性质，结合已知条件能求出直线AB的斜率是定值$\frac{1}{2}$．

解答 解：法一：（Ⅰ）由题意知a+c=3（a-c），
∴a=2c=2，∴b²=3．
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）当∠ACD=∠BCD，则k_AC+k_BC=0，
设直线AC的斜率为k，则直线BC的斜率为-k，
不妨设点C在x轴上方，$C（{1，\frac{3}{2}}）$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则AC的直线方程为$y-\frac{3}{2}=k（{x-1}）$，代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$中整理得（3+4k²）x²-4k（2k-3）x+4k²-12k-3=0，
∴$1+{x_1}=\frac{{4k（{2k-3}）}}{{（{3+4{k^2}}）}}$；
同理$1+{x_2}=\frac{{4k（{2k+3}）}}{{（{3+4{k^2}}）}}$．
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}-6}}{{（{3+4{k^2}}）}}$，${x_1}-{x_2}=\frac{-24k}{{（{3+4{k^2}}）}}$，
则${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{k（{{x_1}+{x_2}}）-2k}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{1}{2}$，
因此直线AB的斜率是定值$\frac{1}{2}$．
法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）依题意知直线AB的斜率存在，
∴设AB方程：y=kx+m代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$中整理得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{4{k^2}+3}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$，△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=16（12k²-3m²+9）＞0
当∠ACD=∠BCD，则k_AC+k_BC=0，不妨设点C在x轴上方，$C（{1，\frac{3}{2}}）$，
∴$\frac{{{y_1}-\frac{3}{2}}}{{{x_1}-1}}+\frac{{{y_2}-\frac{3}{2}}}{{{x_2}-1}}=0$，整理得$2k{x_1}{x_2}+（{m-\frac{3}{2}}）（{{x_1}+{x_2}}）-2m+3=0$，
∴$2k•\frac{{4{m^2}-12}}{{4{k^2}+3}}+（{m-\frac{3}{2}}）$$（{-\frac{8km}{{4{k^2}+3}}}）-2m+3=0$，
整理得12k²+12（m-2）k+9-6m=0，
即（6k-3）（2k+2m-3）=0，
∴2k+2m-3=0或6k-3=0．
当2k+2m-3=0时，直线AB过定点$C（{1，\frac{3}{2}}）$，不合题意；
当6k-3=0时，$k=\frac{1}{2}$，符合题意，
∴直线AB的斜率是定值$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用了韦达定理和根的判别式，考查运算能力，属于中档题．