底面为正方形的四棱锥S-ABCD.且SD⊥平面ABCD.SD=$\sqrt{2}$.AB=1.线段SB上一M点满足$\frac{SM}{MB}$=$\frac{1}{2}$.N为线段CD的中点.P为四棱锥S-ABCD表面上一点.且DM⊥PN.则点P形成的轨迹的长度为( )A．$\sqrt{2}$B．$\frac{5\sqrt{2}}{4}$C．$\frac{3\sqrt{2}}{2}$D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．底面为正方形的四棱锥S-ABCD，且SD⊥平面ABCD，SD=$\sqrt{2}$，AB=1，线段SB上一M点满足$\frac{SM}{MB}$=$\frac{1}{2}$，N为线段CD的中点，P为四棱锥S-ABCD表面上一点，且DM⊥PN，则点P形成的轨迹的长度为（　　）

A．

$\sqrt{2}$

B．

$\frac{5\sqrt{2}}{4}$

C．

$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

D．

2$\sqrt{2}$

分析取AD的中点E，则EN⊥DM，利用向量求出SD上一点F，使得EF⊥DM，故而P点轨迹为△EFN．

解答解：以D为坐标原点，以DA，DC，DS为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则B（1，1，0），S（0，0，$\sqrt{3}$），N（0，$\frac{1}{2}$，0），D（0，0，0），M（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），
取AD的中点E，则E（$\frac{1}{2}$，0，0），∴$\overrightarrow{DM}$=（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），$\overrightarrow{EN}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{EN}$=0，即DM⊥EN，
在SD上取一点F，设F（0，0，a），则$\overrightarrow{EF}$=（-$\frac{1}{2}$，0，a），
设DM⊥EF，则$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{EF}=0$，即-$\frac{1}{a}$+$\frac{2\sqrt{2}a}{3}$=0，解得a=$\frac{1}{4\sqrt{2}}$，
∴DM⊥平面EFN，
∴P点轨迹为△EFN．
∵EF=FN=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{4}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，EN=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△EFN的周长为$\frac{3\sqrt{2}}{8}×2+\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$．
故选：B．

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