Question

13．已知如图正四面体SABC的侧面积为$48\sqrt{3}$，O为底面正三角形ABC的中心．
（1）求证：SA⊥BC；
（2）求点O到侧面SABC的距离．

Answer 1

分析 （1）取BC的中点D，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，SD⊥BC，结合线面垂直的判定可得BC⊥平面SAD，进一步得到SA⊥BC；
（2）由（1）可知BC⊥平面SAD，过点O作OE⊥SD，得到OE⊥平面SBC，即OE就是点O到侧面SBC的距离．由题意可知点O在AD上，设正四面体SABC的棱长为a，利用等积法求得a，在等边三角形ABC中，D是BC的中点，求解直角三角形可得点O到侧面SBC的距离．

解答 （1）证明：取BC的中点D，连结AD，SD，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵△SBC是等边三角形，D是BC的中点，
∴SD⊥BC，
∵AD∩SD=D，AD，SD?平面SAD，
∴BC⊥平面SAD，
∵SA?平面SAD，
∴SA⊥BC；
（2）解：由（1）可知BC⊥平面SAD，
∵BC?平面SBC，
∴平面SAD⊥平面SBC，
∵平面SAD∩平面SBC=SD，过点O作OE⊥SD，则OE⊥平面SBC，
∴OE就是点O到侧面SBC的距离．
由题意可知点O在AD上，设正四面体SABC的棱长为a，
∴${S}_{△SBC}=\frac{1}{2}SB•SC•sin60°=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，
∵正四面体SABC的侧面积为$48\sqrt{3}$，
∴$3{S_{△SBC}}=3×\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}=48\sqrt{3}$，得a=8．
在等边三角形ABC中，D是BC的中点，
∴$AD=AC•sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$．
同理可得$SD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$．
∵O为底面正三角形ABC的中心，
∴$AO=\frac{2}{3}AD=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，$OD=\frac{1}{3}AD=\frac{{\sqrt{3}}}{6}a$，
∴在Rt△SAO中，$SO=\sqrt{S{A^2}-A{O^2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$，
由$\frac{1}{2}OD•SO=\frac{1}{2}SD•OE$，
得：$\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{6}a×\frac{{\sqrt{6}}}{3}a=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}a•OE$，
∴$OE=\frac{{\sqrt{6}}}{9}a=\frac{{8\sqrt{6}}}{9}$，即点O到侧面SBC的距离为$\frac{{8\sqrt{6}}}{9}$．

点评 本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．