Question

7．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{2}{b}$，求证：∠B必为锐角．

Answer 1

分析 使用余弦定理，由已知求出b=$\frac{2ac}{a+c}$，计算cosB＞0，即可得证∠B必为锐角．

解答 证明：由已知$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{2}{b}$，
可得b=$\frac{2ac}{a+c}$，
所以a²+c²-b²=a²+c²-（$\frac{2ac}{a+c}$）²≥2ac-$\frac{4{a}^{2}{c}^{2}}{（a+c）^{2}}$=2ac（1-$\frac{2ac}{（a+c）^{2}}$）≥2ac（1-$\frac{2ac}{4ac}$）＞0．
即cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$＞0，
由于B∈（0，π），
故0＜B$＜\frac{π}{2}$，即∠B必为锐角，得证．

点评 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．