Question

19．已知正实数x，y满足x-y=xy，x-4y-a=0，则实数a的取值范围为[-1，+∞）．

Answer 1

分析 正实数x，y满足x-y=xy，变形为x=$\frac{y}{1-y}$＞0，解得0＜y＜1．可得a=x-4y=$\frac{y}{1-y}$-4y=-1+$\frac{1}{1-y}$-4y=-5+$[\frac{1}{1-y}+4（1-y）]$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵正实数x，y满足x-y=xy，
∴x=$\frac{y}{1-y}$＞0，解得0＜y＜1．
∴a=x-4y=$\frac{y}{1-y}$-4y=-1+$\frac{1}{1-y}$-4y=-5+$[\frac{1}{1-y}+4（1-y）]$
≥-5+2$\sqrt{\frac{1}{1-y}×4（1-y）}$=-1，当且仅当y=$\frac{1}{2}$时取等号．
则实数a的取值范围为[-1，+∞）．
故答案为：[-1，+∞）．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了变形推理能力与计算能力，属于中档题．