Question

2．已知函数f（x）=|x+m|+|2x-1|（m＞0）．
（1）当m=1时，解不等式f（x）≥3；
（2）当x∈[m，2m²]时，不等式$\frac{1}{2}$f（x）≤|x+1|恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的分段函数的形式，解不等式即可；
（2）问题转化为m≤2|x+1|-|2x-1|-x，令t（x）=2|x+1|-|2x-1|-x，求出t（x）的最小值，求出m的范围即可．

解答 解：（1）m=1时，f（x）=|x+1|+|2x-1|，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x，x＜-1}\\{2-x，-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{3x，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴f（x）≥3，解得：x≤-1或x≥1；
（2）$\frac{1}{2}$f（x）≤|+1|⇒$\frac{1}{2}$|x+m|+$\frac{1}{2}$|2x-1|≤|x+1|，
∵x∈[m，2m²]且m＞0，
∴$\frac{1}{2}$x+$\frac{m}{2}$≤|x+1|-$\frac{1}{2}$|2x-1|⇒m≤2|x+1|-|2x-1|-x，
令t（x）=2|x+1|-|2x-1|-x=$\left\{\begin{array}{l}{3x+1，0＜x≤\frac{1}{2}}\\{3-x，x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{m＜{2m}^{2}}\end{array}\right.$⇒m＞$\frac{1}{2}$，
t（x）_min=t（2m²）≥m⇒m≤1，
∴$\frac{1}{2}$＜m≤1．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查绝对值不等式问题，是一道中档题．