Question

如图五面体中，四边形CBB₁C₁为矩形，B₁C₁⊥平面ABB₁N，四边形ABB₁N为梯形，
且AB⊥BB₁，BC=AB=AN=

1

2

BB1=4．
（1）求证：BN⊥平面C₁B₁N；    
（2）求此五面体的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）利用直线与平面垂直的性质定理证明B₁C₁⊥BN，然后利用勾股定理证明BN⊥B₁N，通过B₁N∩B₁C₁=B₁，利用直线与平面垂直的判定定理证明：BN⊥平面C₁B₁N；    
（2）连接CN，说明NM⊥平面B₁C₁CB，然后五面体的体积V=VC-ABN+VN-B1C1CB分别求解即可．

解答： 解：（1）证明：连4，过N作NM⊥BB₁，垂足为M，
∵B₁C₁⊥平面ABB₁N，BN?平面ABB₁N，
∴B₁C₁⊥BN，…（2分）
又，BC=4，AB=4，BM=AN=4，BA⊥AN，
∴BN=

42+42

=4

2

，B1N=

NM2+B1M2

=

42+42

=4

2

，
∵BB1=82=64，B1N2+BN2=32+32=64，
∴BN⊥B₁N，…（4分）
∵B₁C₁?平面B₁C₁N，B₁N?平面B₁C₁N，B₁N∩B₁C₁=B₁
∴BN⊥平面C₁B₁N…（6分）
（2）连接CN，VC-ABN=

1

3

×BC•S△ABN=

1

3

×4×

1

2

×4×4=

32

3

，…（8分）

又B₁C₁⊥平面ABB₁N，所以平面CBB₁C₁⊥平面ABB₁N，且平面CBB₁C₁∩ABB₁N=BB₁，NM⊥BB₁，
NM?平面B₁C₁CB，
∴NM⊥平面B₁C₁CB，…（9分）
VN-B1C1CB=

1

3

×NM•S矩形B1C1CB=

1

3

×4×4×8=

128

3

…（11分）
此几何体的体积V=VC-ABN+VN-B1C1CB=

32

3

+

128

3

=

160

3

…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及空间想象能力．