Question

给出下列命题：
①常数列既是等差数列，又是等比数列；
②A，B是△ABC的内角，且A＞B，则sinA＞sinB；
③在数列{a_n}中，如果n前项和S_n=2n²+4n+1，则此数列是一个公差为4的等差数列；
④O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：

Op

=

OA

+λ（

AB

sinC

+

AC

sinB

），λ∈（0，+∞0），则直线AP一定通过△ABC的内心
⑤{a_n}是等比数列，S_n为其前n项和，则S₃，S₆-S₃，S₉-S₆成等比数列．
则上述命题中正确的有

 

 （填上所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：常数列一定是等差数列，不一定是等比数列；A，B是△ABC的内角，且A＞B，则sinA＞sinB；在数列{a_n}中，如果n前项和S_n=2n²+4n+1，则此数列从第二项开始是一个公差为4的等差数列；直线AP是角A的平分线，一定通过△ABC的内心；由等比数列的性质知S₃，S₆-S₃，S₉-S₆成等比数列．

解答： 解：在①中，常数列一定是等差数列，不一定是等比数列，
比如0构成的常数列就不是等比数列，故①错误；…①
在②中，已知A＞B若0°＜A，B≤90°，则sinA＞sinB；
若A，B中有一个大于90°（不妨设为A）
则A＞B，又∵A，B为三角形内角，∴A+B＜180°，
即180°-A＞B，则sinA=sin（180°-A）＞sinB，
综上所述，A，B是△ABC的内角，且A＞B，则sinA＞sinB，故②正确；…②
在③中，在数列{a_n}中，如果n前项和S_n=2n²+4n+1，
则此数列从第二项开始是一个公差为4的等差数列，故③错误；…③
在④中，O是△ABC所在平面上一定点，
动点P满足：

Op

=

OA

+λ（

AB

sinC

+

AC

sinB

），λ∈（0，+∞0），
则直线AP是角A的平分线，故AP一定通过△ABC的内心，故④正确；…④
在⑤中，{a_n}是等比数列，S_n为其前n项和，
则由等比数列的性质知S₃，S₆-S₃，S₉-S₆成等比数列，故⑤正确…⑤
故答案为：②④⑤．

点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意数列、三角函数、三角形五心等知识点的合理运用．