Question

定义函数f（k）表示k的最大奇因数，例如：f（1）=1，f（2）=1，f（3）=3，f（4）=1．
（1）f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2n-1）=

 

．
（2）f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ）=

 

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：计算题,等差数列与等比数列,推理和证明

分析：（1）由题意，f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2n-1）=1+3+5+…+2n-1=n²，
（2）记S_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ），从而可推出S_n=4^n-1+S_n-1，从而求出S_n-S_n-1=4^n-1；从而可得S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁=4^n-1+4^n-2+4^n-3+…+4+2=

1

3

4ⁿ+

2

3

．

解答： 解（1）由题意，f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2n-1）=1+3+5+…+2n-1=n²，
（2）记S_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ），
则S_n-1=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2^n-1）；
S_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ）
=f（1）+f（3）+…+f（2^n-1）+[f（2）+f（4）+…+f（2ⁿ）]
=1+3+5+…+2^n-1+[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2^n-1）]
=4^n-1+S_n-1，
故S_n-S_n-1=4^n-1；
则S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁
=4^n-1+4^n-2+4^n-3+…+4+2
=

1

3

4ⁿ+

2

3

．
故答案为：n²，

1

3

4ⁿ+

2

3

．

点评：本题考查了合情推理的应用及等差、等比数列的应用，属于中档题．