Question

已知函数f（x）=e^x-2x（e为自然数对数的底数）．
（1）求f（x）的极小值；
（2）求证：f（x）≥-x+1在[0，+∞）上恒成立．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=e^x-2，由导数可知f（x）在（-∞，ln2）上是减函数，在（ln2，+∞）上是增函数，从而求极值．
（2）令F（x）=f（x）+x-1=e^x-x-1；化恒成立问题为函数的最值问题，从而证明．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-2x，
∴f′（x）=e^x-2，
∴当x＜ln2时，f′（x）＜0，当x＞ln2时，f′（x）＞0，
故f（x）在（-∞，ln2）上是减函数，在（ln2，+∞）上是增函数，
故f（x）在x=ln2处有极小值为f（ln2）=2-2ln2．
（2）证明：令F（x）=f（x）+x-1=e^x-x-1；
F′（x）=e^x-1，
∴当x＜0时，F′（x）＜0，当x＞0时，F′（x）＞0，
故F（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，
故F（x）≥F（0）=1-0-1=0；
故f（x）≥-x+1在[0，+∞）上恒成立．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于中档题．