题目内容
18．在数列{an}中．a1=2，an+1=2an-n+1，n∈N*．（1）求证：数列{an-n}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
分析 （1）由an+1=2an-n+1，得到$\frac{{a}_{n+1}-（n+1）}{{a}_{n}-n}$=2，即可得到数列{an-n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，
（2）由（1）可得an-n=1•2n-1，即可求出通项公式．
解答 解：（1）an+1=2an-n+1，
∴an+1-（n+1）=2（an-n），
∴$\frac{{a}_{n+1}-（n+1）}{{a}_{n}-n}$=2，
∵a1=2，
∴a1-1=2-1=1，
∴数列{an-n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，；
（2）由（1）可得an-n=1•2n-1，
∴an=n+2n-1．
点评 本题考查了等比数列的通项公式、变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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| C． | arccos（-x）=arccosx | D． | arctan（tan$\frac{2π}{3}$）=$\frac{2π}{3}$ |
