Question

17．已知矩形ABCD，AB=2，BC=1，E是CD的中点，则有$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=-1．

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=0，再根据 $\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{\overrightarrow{AB}}{2}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$），计算求得结果．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=0，|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{AD}$|=1，$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{\overrightarrow{AB}}{2}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{\overrightarrow{AB}}{2}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）=${\overrightarrow{AD}}^{2}$-$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}}{2}$-$\frac{{\overrightarrow{AB}}^{2}}{2}$=1-0-$\frac{4}{2}$=-1，
故答案为：-1．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的运算，属于基础题．