题目内容
18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+cosBtanC=2sinA．（1）求角C的大小；
（2）若8a=5b，求cosB的值．
分析 （1）利用同角三角函数基本关系式、和差公式即可得出．
（2）利用正弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式即可得出．
解答 解：（1）∵sinB+cosBtanC=2sinA，∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosC，即sin（B+C）=2sinAcosC．
即sinA=2sinAcosC．
∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴cosC=$\frac{1}{2}$．
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）在△ABC中，由8a=5b，得8sinA=5sinB，即8sin（$\frac{2π}{3}$-B）=5sinB．∴8$（\frac{\sqrt{3}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB）$=5sinB，sinB=4$\sqrt{3}$cosB，
cosB≠0，∴tanB=4$\sqrt{3}$，B为锐角，∴cosB=$\frac{1}{7}$．
点评 本题考查了正弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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