Question

9．给出A_n=2ⁿ，B_n=n²+1，n∈N₊，现比较二者的大小．
（1）分别取n=1，2，3，4，5加以试验，
（2）①根据试验结果猜测一个一般性的结论；
②用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）分别代值计算即可，
（2）①于是可猜测：2ⁿ＞n²+1（n≥5），2ⁿ＜n²+1（n＜5），
②对于2ⁿ＜n²+1（n＜5），通过（1）即可说明，
对于2ⁿ＞n²+1（n≥5），利用数学归纳法证明，利用该归纳假设，取推证当n=k+1时，不等式也成立即可．

解答 解：（1）当n=1时，2ⁿ=2，n²+1=2，2ⁿ=n²+1，
当n=2时，2ⁿ=4，n²+1=5，2ⁿ＜n²+1，
当n=3时，2ⁿ=8，n²+1=5，2ⁿ＜n²+1，
当n=4时，2ⁿ=16，n²+1=17，2ⁿ＜n²+1；
当n=5时，2ⁿ=32，n²+1=26，2ⁿ＞n²+1；
于是可猜测：2ⁿ＞n²+1（n≥5），2ⁿ＜n²+1（n＜5），
（2）①于是可猜测：2ⁿ＞n²+1（n≥5），2ⁿ＜n²+1（n＜5），
②对于2ⁿ＜n²+1（n＜5），通过（1）即可说明，
对于2ⁿ＞n²+1（n≥5），
（i）当n=5时，均有左端＞右端，不等式成立；
（ii）②假设n=k（k≥5，k∈N^*）时不等式成立，即2^k＞k²+1
则当n=k+1时，
左边=2^k+1=2×2^k＞2（k²+1）=2k²+2
右边=（k+1）²+1=k²+2k+2，
∵k²+k²+2-（k²+2k+2）=k²-2k=k（k-2）≥0，
∴当k≥5时，2k²+2≥（k+1）²+1
即当n=k+1时，2^k+1＞（k+1）²+1不等式成立；
由（i）（ii）可得，2ⁿ＞n²+1（n≥5），
综上所述，2ⁿ＞n²+1（n≥5），2ⁿ＜n²+1（n＜5）

点评 本题考查数学归纳法，着重考查变形、推理与论证的能力，属于中档题．