Question

14．已知函数f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R，a，b∈R），若函数f（x）仅在x=0处有极值，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-$\frac{8}{3}$，$\frac{8}{3}$）
• B． [-$\frac{8}{3}$，$\frac{8}{3}$]
• C． （-∞，-$\frac{8}{3}$）∪（$\frac{8}{3}$，+∞）
• D． [-∞，$\frac{8}{3}$]∪[$\frac{8}{3}$，+∞]

Answer 1

分析 首先对f（x）求导，函数f（x）仅在x=0处有极值，可得知4x²+3ax+4=0无解或只有唯一一个解．

解答 解：对f（x）求导：
f'（x）=4x³+3ax²+4x
=x（4x²+3ax+4），
令f'（x）=0⇒x=0 或 4x²+3ax+4=0
函数f（x）仅在x=0处有极值，可得知4x²+3ax+4=0无解或只有唯一一个解；
故△=9a²-64≤0⇒-$\frac{8}{3}$≤a≤$\frac{8}{3}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了导数与极值的关系，以及一元二次函数零点分布，属基础题．