Question

16．在平面四边形ABCD中，∠A=45°，∠B=120°，AB=$\sqrt{2}$，AD=2．设CD=t，则t的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1+$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 在△ABD中，由余弦定理得DB=$\sqrt{2}$，即$∠ABD=\frac{π}{2}$.$∠DBC=\frac{π}{6}$，点C在射线BT上运动（如图），要使ABCD为平面四边形ABCD，当DC⊥BT时，CD最短，为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，当A，D，C共线时，如图，在△ABC₂中，由正弦定理可得$A{C}_{2}=3+\sqrt{3}$，$D{C}_{2}=1+\sqrt{3}$．即可得到答案．

解答 解：在△ABD中，∵∠A=45°，∠B=120°，AB=$\sqrt{2}$，AD=2，
由余弦定理得BD²=AD²+AB²-2AD•ABcosA=2．
∴DB=$\sqrt{2}$，即△ABD为等腰直角三角形，$∠ABD=\frac{π}{2}$．
∴$∠DBC=\frac{π}{6}$，
所以点C在射线BT上运动（如图），要使ABCD为平面四边形ABCD，
当DC⊥BT时，CD最短，为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当A，D，C共线时，如图，在△ABC₂中，由正弦定理可得$\frac{A{C}_{2}}{sin12{0}^{0}}=\frac{AB}{sin1{5}^{0}}$
解得$A{C}_{2}=3+\sqrt{3}$，$D{C}_{2}=1+\sqrt{3}$．
∴设CD=t，则t的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1+$\sqrt{3}$），
故答案为：$[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{3}+1}）$．

点评 本题考查了正余弦定理的应用，动点问题的极端化处理是解题的关键，属于中档题．