Question

5．已知向量$\overrightarrow{OA}=（{3，1}），\overrightarrow{OB}=（{-1，3}）$，$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}-n\overrightarrow{OB}（{m＞0，n＞0}）$，若m+n=1，则$|{\overrightarrow{OC}}$|的最小值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 根据题意，由向量的坐标计算公式可得$\overrightarrow{OC}$的坐标，由向量模的公式可得|$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{10（{m}^{2}+{n}^{2}）}$，由基本不等式的性质可得$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}$≥（$\frac{m+n}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，即m²+n²≥$\frac{1}{2}$；即可得答案．

解答 解：根据题意，向量$\overrightarrow{OA}=（{3，1}），\overrightarrow{OB}=（{-1，3}）$，
则$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$-n$\overrightarrow{OB}$=（3m+n，m-3n），
|$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{（3m+n）^{2}+（m-3n）^{2}}$=$\sqrt{10（{m}^{2}+{n}^{2}）}$，
又由m+n=1，
则有$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}$≥（$\frac{m+n}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，即m²+n²≥$\frac{1}{2}$；
故|$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{10（{m}^{2}+{n}^{2}）}$≥$\sqrt{5}$，
即|$\overrightarrow{OC}$|的最小值为$\sqrt{5}$；
故选：C．

点评 本题考查向量的模的运算，关键是求出向量|$\overrightarrow{OC}$|的坐标，结合基本不等式进行分析．