Question

19．设$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$为单位向量，$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为60°，则$（\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c）•\overrightarrow c$的最大值为1+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（cosα，sinα），利用三角恒等变换和平面向量的数量积，即可求出最大值．

解答 解：由题意|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{c}$|=1，$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角θ=60°，
设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（cosα，sinα），
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$+c²
=cosα+$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα+1
=$\frac{3}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα+1
=$\sqrt{3}$sin（α+$\frac{π}{3}$）+1≤$\sqrt{3}$+1；
∴当α=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，时取得最大值1+$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}+1$．

点评 本题考查了平面向量数量积的运算问题，也考查了函数与方程思想的应用问题，是综合性题目．