Question

11．椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁，右焦点为F₂，离心率e=$\frac{1}{2}$，P是椭圆上的一点，已知△PF₁F₂内切圆半径为1，内心为I，且S${\;}_{△PI{F}_{1}}$+S${\;}_{△PI{F}_{2}}$=2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆的左焦点F₁做两条互相垂直的弦AB，CD，求|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{CD}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用S${\;}_{△PI{F}_{1}}$+S${\;}_{△PI{F}_{2}}$=2．求出a=2，利用离心率求出c，b即可顶点椭圆E的方程．
（2）①设直线AB的方程为：x=my-1（m≠0），直线CD的方程为x=-$\frac{1}{m}y-1$，直线AB与椭圆方程联立可得：
（3m²+4）y²-6my-9=0，求出弦长，|AB|，|CD|，化简和的表达式，利用函数的最值求解即可．

解答 解：（1）所求椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）
因为△PF₁F₂内切圆半径为1，且S${\;}_{△PI{F}_{1}}$+S${\;}_{△PI{F}_{2}}$=2．S${\;}_{△PI{F}_{1}}$+S${\;}_{△PI{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•r+$\frac{1}{2}$|PF₂|•r=$\frac{1}{2}×2a×1$=2，
∴a=2，又∵$e=\frac{1}{2}$，∴c=1，b=$\sqrt{3}$，
椭圆E的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

（2）①设直线AB的方程为：x=my-1（m≠0），直线CD的方程为x=-$\frac{1}{m}y-1$，
直线AB与椭圆方程联立可得：
（3m²+4）y²-6my-9=0，
解得弦长|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}•\frac{\sqrt{36{m}^{2}+36（3{m}^{2}+4）}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{12{m}^{2}+1}{3{m}^{2}+4}$             （6分）
同理可得弦长$|{CD}|=\frac{{12\frac{1}{m^2}+1}}{{3\frac{1}{m^2}+4}}$（7分）
所以|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{CD}$|=$\frac{{12{m^2}+1}}{{3{m^2}+4}}$+$\frac{{12\frac{1}{m^2}+1}}{{3\frac{1}{m^2}+4}}$=$\frac{12}{{3+\frac{1}{{{m^2}+1}}}}+\frac{12}{{4-\frac{1}{{{m^2}+1}}}}$
设$t=\frac{1}{{{m^2}+1}}∈（0，1）$
|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{CD}$|=$\frac{12}{3+t}+\frac{12}{4-t}$=$\frac{84}{-{t}^{2}+t+12}$，
当$t=\frac{1}{2}，即m=±1时，|{AB}|+|{CD}|的最小值为\frac{48}{7}$（10分）
②当m=0时，|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{CD}$|=7..（11分）
综上：$|{AB}|+|{CD}|的最小值为\frac{48}{7}$．（12分）

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．