题目内容

在△ABC中，满足：
AB
⊥
AC
，M是BC的中点．
（Ⅰ）若|
AB
|=|
AC
|，求向量
AB
+2
AC
与向量2
AB
+
AC
的夹角的余弦值；
（Ⅱ）若O是线段AM上任意一点，且|AB|=|AC|=
2
，求
OA
•
OB
+
OC
•
OA
的最小值．
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（I）利用向量的数量积公式变形，设向量
AB
+2
AC
与向量2
AB
+
AC
的夹角为θ，得到cosθ的值；
（II）通过解三角形求出AM的长，设OA的长度为x，得到OM=1-x，利用向量的平行四边形法则得到
OB
+
OC
=2
OM
，利用向量的数量积公式将
OA
•
OB
+
OC
•
OA
表示为x的函数求最值．
解答： 解：（I）设向量
AB
+2
AC
与向量2
AB
+
AC
的夹角为θ，
∴cosθ=
(
.
AB
+2
AC
)•(2
AB
+
AC
)
|
AB
+2
AC
||2
AB
+
AC
|
，
设|
AB
|=|
AC
|=a，∵
AB
⊥
AC
，
∴cosθ=
2a2+2a2
5
a
5
a
=
4
5
；
（II）∵|AB|=|AC|=
2
，
∴|
AM
|=1
设|
OA
|=x，则|
OM
|=1-x，而
OB
+
OC
=2
OM
，
∴
OA
•
OB
+
OC
•
OA
=
OA
•(
OB
+
OC
)=
OA
•2
OM
=2|
OA
||
OM
|cosπ=-2x（1-x）=2x2-2x=2（x-
1
2
）2-
1
2
，
当且仅当x=
1
2
时，
OA
•
OB
+
OC
•
OA
的最小值是-
1
2
．
点评：本题考查了利用向量的数量积公式解决向量的夹角问题以及数量积的坐标运算．
练习册系列答案
相关题目
已知集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
（1）从集合M中抽取两个不同元素构成子集{a1，a2}，求|a1-a2|≥2的概率；
（2）从集合M中抽取三个不同元素构成子集{a1，a2，a3}，求a1，a2，a3成等差数列，设其公差为ξ（ξ＞0），求随机变量ξ的概率分布于数学期望．
已知tan（α+β）=
2
5
，tan(β-
π
4
)=
1
4
，那么tan（α+
π
4
）的值是
 
．
下列函数中，与函数y=
1
x
有相同定义域的是（　　）
A、f(x)=
x
x
B、f(x)=
1
x
C、f（x）=|x|
D、f(x)=
x-1
x
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足
a+c
b
=
sinA-sinB
sinA-sinC

（1）求角C；
（2）若c=
3
，a+b=3，求△ABC的面积S△ABC．
已知a∈R，命题p：实系数一元二次方程x2+ax+2=0的两根都是虚数；命题q：存在复数z同时满足|z|=2且|z+a|=1．
（1）若命题p中根的虚部为整数，求实数a的值；
（2）若命题p、q同为真命题，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=ax-
1
x
-a+1，当a＞0，求关于x的不等式f（x）＜0的解集．
若sinα-2cosα=0，则
1
cos2α+sin2α
的值为（　　）
A、-2B、-1C、1D、2
已知数列{an}的前n项和为Sn，点（n，
Sn
n
），n∈N*在直线y=x-13上．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）指出n取何值时Sn取得最小值，并求出Sn的最小值；
（3）若数列{bn}满足bn=（
1
2
） an+13，求数列{bn}的前n项和为Tn．

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